Xét chuyển động thủy triều trong kênh nửa kín. Giả sử kênh rất hẹp, có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực Coriolis. Ma sát ở đáy và thành kênh không có. Chuyển động ngang của các hạt nước không đổi trong mặt phẳng vuông góc với phương truyền thủy triều, tức trong thiết diện ngang kênh. Tốc độ thành phần ngang uu size 12{u} {} có thể là một hàm số chỉ theo hướng xx size 12{x} {} và thời gian tt size 12{t} {} [3].

Bây giờ chúng ta sẽ nhận các phương trình thuận tiện cho việc tích phân bằng số. Đặt gốc toạ độ lên mặt phẳng đáy, trục xx size 12{x} {} hướng dọc theo kênh, trục zz size 12{z} {} thẳng đứng hướng lên trên.

Phương trình chuyển động theo hướng trục xx size 12{x} {} (1.19) và phương trình liên tục (1.28) sẽ có dạng đơn giản sau đây:

∂ u ∂ t = − g ∂ ζ ∂ x ∂ u ∂ t = − g ∂ ζ ∂ x size 12{ { { partial u} over { partial t} } = - g { { partial ζ} over { partial x} } } {} (2.1)

∂ ζ ∂ t = − D ∂ u ∂ x ∂ ζ ∂ t = − D ∂ u ∂ x size 12{ { { partial ζ} over { partial t} } = - D { { partial u} over { partial x} } } {} (2.2)

Nếu sử dụng đại lượng di chuyển ngang ξξ size 12{ξ} {} của hạt nước liên hệ với tốc độ uu size 12{u} {} theo định nghĩa

ξ = ∫ 0 t udt ξ = ∫ 0 t udt size 12{ξ= Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{t} } { ital "udt"} } {} (2.3)

thì phương trình chuyển động (2.1) được viết lại thành

∂ 2 ξ ∂ t 2 = − g ∂ ζ ∂ x ∂ 2 ξ ∂ t 2 = − g ∂ ζ ∂ x size 12{ { { partial rSup { size 8{2} } ξ} over { partial t rSup { size 8{2} } } } = - g { { partial ζ} over { partial x} } } {} (2.4)

và phương trình liên tục (2.2) thành

∂ ζ ∂ t = − D ∂ 2 ξ ∂ x ∂ t ∂ ζ ∂ t = − D ∂ 2 ξ ∂ x ∂ t size 12{ { { partial ζ} over { partial t} } = - D { { partial rSup { size 8{2} } ξ} over { partial x partial t} } } {} (2.5)

Giả sử dao động thủy triều của mực nước và di chuyển ngang là các hàm điều hòa thời gian dạng:

ζ = ζ ˉ cos 2π T t ζ = ζ ˉ cos 2π T t size 12{ζ= { bar {ζ}}"cos" { {2π} over {T} } t} {}

ξ = ξ ˉ cos 2π T t ξ = ξ ˉ cos 2π T t size 12{ξ= { bar {ξ}}"cos" { {2π} over {T} } t} {}

trong đó ζˉζˉ size 12{ { bar {ζ}}} {} và ξˉξˉ size 12{ { bar {ξ}}} {} tuần tự là các biên độ của dao động mực nước và quãng đường dịch chuyển ngang của hạt nước trong chuyển động triều.

Ký hiệu diện tích mặt cắt ngang kênh là SS size 12{S} {}, chiều rộng kênh là bb size 12{b} {} và D=S/bD=S/b size 12{D=S/b} {}. Khi đó các phương trình (2.4) và (2.5) sẽ dẫn đến dạng các phương trình cho biên độ các dao động [6]:

d ζ ˉ dx = 1 g 2π T 2 ξ ˉ d ζ ˉ dx = 1 g 2π T 2 ξ ˉ size 12{ { {d { bar {ζ}}} over { ital "dx"} } = { {1} over {g} } left [ { {2π} over {T} } right ] rSup { size 8{2} } { bar {ξ}}} {} (2.6)

d [ S ( x ) ξ ˉ ) dx = ζ ˉ b ( x ) d [ S ( x ) ξ ˉ ) dx = ζ ˉ b ( x ) size 12{ { {d \[ S \( x \) { bar {ξ}} \) } over { ital "dx"} } = { bar {ζ}}b \( x \) } {} (2.7)

Dùng điều kiện triệt tiêu chuyển động ngang ở đầu kín của kênh ( x=0x=0 size 12{x=0} {}) làm điều kiện biên theo xx size 12{x} {}:

ξ ˉ ∣ x = 0 = 0 ξ ˉ ∣ x = 0 = 0 size 12{ { bar {ξ}} \lline rSub { size 8{x=0} } =0} {} (2.8)

và cho trước dao động thẳng đứng của mực nước ở cửa mở của kênh ( x=ℓx=ℓ size 12{x=ℓ} {}):

ζ ˉ ∣ x = ℓ = ζ ˉ ℓ ζ ˉ ∣ x = ℓ = ζ ˉ ℓ size 12{ { bar {ζ}} \lline rSub { size 8{x=ℓ} } = { bar {ζ}} rSub { size 8{ℓ} } } {} (2.9)

Như vậy hệ phương trình (2.6), (2.7) và các điều kiện biên (2.8) và (2.9) hoàn toàn xác định trường dao động triều trong kênh.

Bây giờ ta chia kênh ra làm nhiều đoạn bằng một loạt các thiết diện thẳng đứng vuông góc với trục dọc kênh (hình 1). Khoảng cách giữa hai thiết diện liền nhau bằng ΔxΔx size 12{Δx} {}. Ký hiệu ΔζˉΔζˉ size 12{Δ { bar {ζ}}} {} là số gia biên độ mực nước qua khoảng ΔxΔx size 12{Δx} {}. Từ phương trình (2.6) sẽ nhận được

Δ ζ ˉ = 4π 2 gT 2 ξ ˉ Δx Δ ζ ˉ = 4π 2 gT 2 ξ ˉ Δx size 12{Δ { bar {ζ}}= { {4π rSup { size 8{2} } } over { ital "gT" rSup { size 8{2} } } } { bar {ξ}}Δx} {} (2.10)

Dịch chuyển ngang ξˉξˉ size 12{ { bar {ξ}}} {} được tìm nhờ phương trình (2.7). Tích phân phương trình này theo từ 0 đến xx size 12{x} {} và dùng điều kiện biên (2.8) ta được

ξ ˉ = − ∫ 0 x b S ζ ˉ dx ξ ˉ = − ∫ 0 x b S ζ ˉ dx size 12{ { bar {ξ}}= - Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{x} } { { {b} over {S} } { bar {ζ}} ital "dx"} } {} (2.11)

Bây giờ ta tích phân hệ phương trình (2.10), (2.11) được thực hiện bằng phương pháp số “từng bước về phía trước”. Đối với trường hợp sóng triều là sóng đứng, các công thức (2.10), (2.11) chuyển thành dạng:

ζ ˉ j = ζ ˉ j − 1 + a ζ ˉ j + ζ ˉ j − 1 2 ζ ˉ j = ζ ˉ j − 1 + a ζ ˉ j + ζ ˉ j − 1 2 size 12{ { bar {ζ}} rSub { size 8{j} } = { bar {ζ}} rSub { size 8{j - 1} } +a { { { bar {ζ}} rSub { size 8{j} } + { bar {ζ}} rSub { size 8{j - 1} } } over {2} } } {} (2.12)

ξ ˉ j = − 1 S j 1 − aR j 2 4S j q ˉ j − 1 + ζ ˉ j − 1 + a ξ ˉ j − 1 4 ξ ˉ j = − 1 S j 1 − aR j 2 4S j q ˉ j − 1 + ζ ˉ j − 1 + a ξ ˉ j − 1 4 size 12{ { bar {ξ}} rSub { size 8{j} } = - { {1} over {S rSub { size 8{j} } left [1 - { { ital "aR" rSub { size 8{j} } rSup { size 8{2} } } over {4S rSub { size 8{j} } } } right ]} } left lbrace { bar {q}} rSub { size 8{j - 1} } + left [ { bar {ζ}} rSub { size 8{j - 1} } +a { { { bar {ξ}} rSub { size 8{j - 1} } } over {4} } right ] right rbrace } {} (2.13)

trong đó

a = 4π 2 gT 2 Δx a = 4π 2 gT 2 Δx size 12{a= { {4π rSup { size 8{2} } } over { ital "gT" rSup { size 8{2} } } } Δx} {}

Rj−Rj− size 12{R rSub { size 8{j} } - {}} {} diện tích mặt kênh giữa hai thiết diện; qˉ−qˉ− size 12{ { bar {q}} - {}} {} lưu lượng của dòng triều, tính theo công thức

q ˉ j = q ˉ j − 1 + ζ ˉ j + ζ ˉ j − 1 2 R j q ˉ j = q ˉ j − 1 + ζ ˉ j + ζ ˉ j − 1 2 R j size 12{ { bar {q}} rSub { size 8{j} } = { bar {q}} rSub { size 8{j - 1} } + { { { bar {ζ}} rSub { size 8{j} } + { bar {ζ}} rSub { size 8{j - 1} } } over {2} } R rSub { size 8{j} } } {}

với qˉj=0qˉj=0 size 12{ { bar {q}} rSub { size 8{j} } =0} {} ở đầu kín của kênh j=0j=0 size 12{j=0} {} theo điều kiện (2.8).

Sternec và Defant khi mới xây dựng phương pháp này, năm 1915-1919, đã dùng nó để tính thủy triều cho Đại Tây Dương, biển Ađriatic, Địa Trung Hải và nhiều biển khác. Kết quả tương đối thỏa mãn khi tính dao động trung bình theo thiết diện ngang của kênh. Tuy nhiên phương pháp vừa trình bày không tính đến lực Coriolis, nên không thể áp dụng đối với những biển không có dạng kênh hẹp. Ngày nay sơ đồ tính toán trên với những cải tiến nhất định có thể sử dụng để tính sự truyền triều trong các vùng cửa sông, các sông. Về sau này Hansen (năm 1949, 1952) và sau nữa là Polukarov (năm 1956, 1957, 1960) [10] đã đưa ra những mô hình số trị đầy đủ hơn, tránh được những thiếu sót của phương pháp Defant. Chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp này qua việc xem xét mô hình số trị của Hansen ở mục tiếp theo.