Những lực tác dụng lên mỗi phần tử vật chất của Trái Đất gồm lực trọng trường, lực hấp dẫn của Mặt Trăng, Mặt Trời và lực ly tâm hình thành khi các hệ Trái Đất - Mặt Trăng hay Trái Đất - Mặt Trời quay quanh những trọng tâm chung tương ứng của chúng. Trọng lực đối với mỗi điểm của Trái Đất không đổi, vì vậy có thể không cần kể đến. Lực hấp dẫn của Mặt Trăng hay Mặt Trời tác động lên những điểm khác nhau trên Trái Đất sẽ không bằng nhau, phụ thuộc vào khoảng cách từ những điểm đó đến Mặt Trăng và Mặt Trời.

Muốn hiểu về lực ly tâm vừa nói ở trên, ta xét sự chuyển động của hệ Trái Đất - Mặt Trăng hay Trái Đất - Mặt Trời. Nhờ những chuyển động biệt lập trong không gian và hấp dẫn lẫn nhau, Trái Đất và Mặt Trăng không rơi vào nhau mà cùng quay quanh một trọng tâm chung PP size 12{P} {} ở khoảng cách 0,73 bán kính Trái Đất, trên đường nối tâm Trái Đất với tâm Mặt Trăng (hình 1). Giả sử vị trí Mặt Trăng ký hiệu là MM size 12{M} {}, tâm Trái Đất ký hiệu là OO size 12{O} {}. Nếu nhìn từ sao Bắc Cực, thì thấy Mặt Trăng quay quanh trọng tâm chung theo chiều ngược kim đồng hồ, sau một khoảng thời gian vị trí mới của Mặt Trăng sẽ là M'M' size 12{ { {M}} sup { ' }} {}, tâm Trái Đất OO size 12{O} {} cũng quay quanh trọng tâm chung theo chiều ngược kim đồng hồ trên vòng tròn o'o' size 12{ { {o}} sup { ' }} {} bán kính OPOP size 12{"OP"} {} đến điểm O'O' size 12{ { {O}} sup { ' }} {} (hình 1). Bây giờ nếu ta không xét đến sự xoay của Trái Đất quanh trục của nó, thì thấy rằng tất cả các điểm bên trong và trên mặt Trái Đất đều quay trên những vòng tròn bán kính bằng bán kính vòng tròn quỹ đạo của tâm Trái Đất nhưng với những tâm khác nhau, thí dụ: điểm AA size 12{A} {} quay theo đường tròn a'a' size 12{ { {a}} sup { ' }} {} đến điểm A'A' size 12{ { {A}} sup { ' }} {}, điểm BB size 12{B} {} quay theo đường tròn b'b' size 12{ { {b}} sup { ' }} {} đến điểm B'B' size 12{ { {B}} sup { ' }} {}. Trên hình vẽ ta thấy rằng tại thời điểm bất kỳ những đường thẳng nối những điểm quay bất kỳ với những tâm quay tương ứng của chúng đều song song với nhau và song song với đường thẳng nối tâm Trái Đất với Mặt Trăng. Vậy trong khi hệ thống quay, những lực ly tâm (được vẽ bằng những mũi tên đậm) xuất hiện ở mọi điểm trên Trái Đất, kể cả ở tâm của nó, đều bằng nhau về độ lớn và có hướng song song với đường thẳng nối tâm Trái Đất với Mặt Trăng về phía xa Mặt Trăng.

Quá trình hình thành những lực ly tâm ở các điểm trên Trái Đất trong khi hệ Trái Đất - Mặt Trời quay quang trọng tâm chung cũng tương tự như vậy.

Nếu ký hiệu lực ly tâm ở điểm bất kỳ trên Trái Đất là C→C→ size 12{ { vec {C}}} {}, lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên điểm đó là P→P→ size 12{ { vec {P}}} {} (hình 2). Tổng vectơ của lực ly tâm và lực hấp dẫn tại mỗi điểm sẽ là lực tạo triều F→F→ size 12{ { vec {F}}} {}

F→=C→+P→F→=C→+P→ size 12{ { vec {F}}= { vec {C}}+ { vec {P}}} {}. (1.1)

Nhưng do lực ly tâm ở mỗi điểm bất kỳ bằng về độ lớn và ngược hướng so với lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên tâm Trái Đất nên

F→=P→−P→0F→=P→−P→0 size 12{ { vec {F}}= { vec {P}} - { vec {P}} rSub { size 8{0} } } {}, (1.2)

trong đó P→0−P→0− size 12{ { vec {P}} rSub { size 8{0} } - {}} {} lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên tâm Trái Đất.

Như vậy suy ra lực tạo triều tại một điểm bất kỳ trên Trái Đất bằng hiệu giữa lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên điểm đó và lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên tâm Trái Đất. Công thức (1.2) rất thuận tiện khi tính các lực tạo triều cho các điểm trên Trái Đất.

Trên hình 2 biểu diễn sự phân bố lực tạo triều trên mặt Trái Đất. Thấy rằng tại điểm gần Mặt Trăng nhất trên đường nối tâm Trái Đất với tâm Mặt Trăng lực tạo triều có độ lớn lớn nhất và hướng về phía Mặt Trăng. Tại điểm xa Mặt Trăng nhất trên đường này lực tạo triều cũng có độ lớn đó nhưng hướng về phía xa Mặt Trăng. Tại những điểm trên vòng sáng Trái Đất, lực tạo triều có độ lớn chỉ bằng khoảng một nửa so với hai trường hợp trên và hướng vào phía tâm Trái Đất. Với những điểm chuyển tiếp khác, các lực tạo triều có độ lớn và hướng chuyển tiếp giữa hai trường hợp đặc biệt trên.

Dưới tác động của các lực tạo triều, những phần tử nước trên Trái Đất cần phải dịch chuyển theo chiều các mũi tên chỉ vectơ lực. Nếu như đại dương là một lớp vỏ nước dày đều bao phủ khắp mặt Trái Đất thì nước sẽ dâng cao nhất tại những điểm nằm trên đường nối các tâm Trái Đất và Mặt Trăng, hạ thấp nhất tại những điểm nằm trên vòng sáng Trái Đất. Kết quả là mặt đại dương có dạng ellipxoit tròn xoay với trục lớn hướng theo đường nối các tâm Trái Đất và Mặt Trăng (hình 3).

Bây giờ ta thử sử dụng công thức (1.2) để tính độ lớn của các lực tạo triều của Mặt Trăng và Mặt Trời và so sánh chúng. Lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên một hạt nước khối lượng một đơn vị tại tâm Trái Đất bằng

F 0 M = kM r 2 F 0 M = kM r 2 size 12{F rSub { size 8{0} } rSup { size 8{M} } = { { ital "kM"} over {r rSup { size 8{2} } } } } {}

trong đó M−M− size 12{M - {}} {} khối lượng Mặt Trăng; khoảng cách từ tâm Trái Đất tới Mặt Trăng; k−k− size 12{k - {}} {} hằng số hấp dẫn ( k=gρ2E,g−k=gρ2E,g− size 12{k= { {gρ rSup { size 8{2} } } over {E} } ,``g - {}} {} gia tốc trọng trường Trái Đất, ρ−ρ− size 12{ρ - {}} {} bán kính Trái Đất, E−E− size 12{E - {}} {} khối lượng Trái Đất). Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng bằng 60 lần bán kính Trái Đất, khối lượng Trái Đất lớn gấp 81 lần khối lượng Mặt Trăng. Do đó ta tính được lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên tâm Trái Đất bằng

F 0 M = gρ 2 M ( 60 ρ ) 2 . ( ( 81 M ) = g ( 60 ) 2 . 81 ≈ g 291600 F 0 M = gρ 2 M ( 60 ρ ) 2 . ( ( 81 M ) = g ( 60 ) 2 . 81 ≈ g 291600 size 12{F rSub { size 8{0} } rSup { size 8{M} } = { {gρ rSup { size 8{2} } M} over { \( "60"ρ \) rSup { size 8{2} } "." \( \( "81"M \) } } = { {g} over { \( "60" \) rSup { size 8{2} } "." "81"} } approx { {g} over {"291600"} } } {}

và lực hấp dẫn của Mặt Trăng lên điểm xa Mặt Trăng nhất trên mặt Trái Đất bằng

F P M = gρ 2 M ( 61 ρ ) 2 . ( 81 M ) = g ( 61 ) 2 . 81 ≈ g 301401 F P M = gρ 2 M ( 61 ρ ) 2 . ( 81 M ) = g ( 61 ) 2 . 81 ≈ g 301401 size 12{F rSub { size 8{P} } rSup { size 8{M} } = { {gρ rSup { size 8{2} } M} over { \( "61"ρ \) rSup { size 8{2} } "." \( "81"M \) } } = { {g} over { \( "61" \) rSup { size 8{2} } "." "81"} } approx { {g} over {"301401"} } } {}

Vậy độ lớn của lực tạo triều Mặt Trăng tại điểm này bằng FPM=0,11×10−6gFPM=0,11×10−6g size 12{F rSub { size 8{P} } rSup { size 8{M} } =0,"11" times "10" rSup { size 8{ - 6} } g} {}. Tương tự ta tính lực tạo triều của Mặt Trời, biết rằng khoảng cách từ tâm Trái Đất tới Mặt Trời bằng 23400 lần bán kính Trái Đất, khối lượng Mặt Trời bằng 333000 khối lượng Trái Đất. Các lực hấp dẫn của Mặt Trời lên tâm Trái Đất và lên một điểm xa Mặt Trời nhất trên mặt Trái Đất tuần tự bằng:

F 0 S = gρ 2 E ( 333000 ) ( 23400 ρ ) 2 E = g ( 333000 ) ( 23400 ) 2 ≈ g 1644 , 3243 F 0 S = gρ 2 E ( 333000 ) ( 23400 ρ ) 2 E = g ( 333000 ) ( 23400 ) 2 ≈ g 1644 , 3243 size 12{F rSub { size 8{0} } rSup { size 8{S} } = { {gρ rSup { size 8{2} } E \( "333000" \) } over { \( "23400"ρ \) rSup { size 8{2} } E} } = { {g \( "333000" \) } over { \( "23400" \) rSup { size 8{2} } } } approx { {g} over {"1644","3243"} } } {}

F P S = gρ 2 E ( 333000 ) ( 23401 ρ ) 2 E = g ( 333000 ) ( 23401 ) 2 ≈ g 1644 , 4649 F P S = gρ 2 E ( 333000 ) ( 23401 ρ ) 2 E = g ( 333000 ) ( 23401 ) 2 ≈ g 1644 , 4649 size 12{F rSub { size 8{P} } rSup { size 8{S} } = { {gρ rSup { size 8{2} } E \( "333000" \) } over { \( "23401"ρ \) rSup { size 8{2} } E} } = { {g \( "333000" \) } over { \( "23401" \) rSup { size 8{2} } } } approx { {g} over {"1644","4649"} } } {}

và độ lớn lực tạo triều Mặt Trời cho điểm này FPS=0,52×10−7gFPS=0,52×10−7g size 12{F rSub { size 8{P} } rSup { size 8{S} } =0,"52" times "10" rSup { size 8{ - 7} } g} {}. Từ đây có thể đánh giá lực tạo triều Mặt Trăng lớn hơn lực tạo triều Mặt Trời khoảng 2,1 lần.

Bây giờ ta sẽ tìm những biểu thức định lượng của lực tạo triều làm cơ sở cho những tính toán thủy triều tiếp sau.

Trên hình 4 là hệ tọa độ vuông góc OXYZOXYZ size 12{ ital "OXYZ"} {} với tâm OO size 12{O} {} tại tâm Trái Đất và mặt phẳng XOYXOY size 12{ ital "XOY"} {} trùng mặt phẳng xích đạo Trái Đất, trục OZOZ size 12{ ital "OZ"} {} hướng lên trên. Mặt Trăng với khối lượng MM size 12{M} {} có tọa độ biến đổi ε,η,ζε,η,ζ size 12{ε,`η,`ζ} {}. Ký hiệu ρ−ρ− size 12{ρ - {}} {} bán kính Trái Đất, D−D− size 12{D - {}} {} khoảng cách từ điểm P(x,y,z)P(x,y,z) size 12{P \( x,y,z \) } {} đến tâm Mặt Trăng, r−r− size 12{r - {}} {} khoảng cách từ tâm Trái Đất đến tâm Mặt Trăng, Z−Z− size 12{Z - {}} {} góc thiên đỉnh của Mặt Trăng đối với điểm PP size 12{P} {}. Hình chiếu của lực tạo triều trên các trục tọa độ tính cho một đơn vị khối lượng của phần tử nước tại điểm PP size 12{P} {} theo công thức (1.2) sẽ bằng

F x = kM D 2 ε − x D − kM r 2 ε r = kM ε − x D 3 − ε r 3 F x = kM D 2 ε − x D − kM r 2 ε r = kM ε − x D 3 − ε r 3 size 12{F rSub { size 8{x} } = { { ital "kM"} over {D rSup { size 8{2} } } } { {ε - x} over {D} } - { { ital "kM"} over {r rSup { size 8{2} } } } { {ε} over {r} } = ital "kM" left [ { {ε - x} over {D rSup { size 8{3} } } } - { {ε} over {r rSup { size 8{3} } } } right ]} {}

Fx=kMD2η−yD−kMr2ηr=kMη−yD3−ηr3Fx=kMD2η−yD−kMr2ηr=kMη−yD3−ηr3 size 12{F rSub { size 8{x} } = { { ital "kM"} over {D rSup { size 8{2} } } } { {η - y} over {D} } - { { ital "kM"} over {r rSup { size 8{2} } } } { {η} over {r} } = ital "kM" left [ { {η - y} over {D rSup { size 8{3} } } } - { {η} over {r rSup { size 8{3} } } } right ]} {} (1.3)

F x = kM D 2 ζ − z D − kM r 2 ζ r = kM ζ − z D 3 − ζ r 3 F x = kM D 2 ζ − z D − kM r 2 ζ r = kM ζ − z D 3 − ζ r 3 size 12{F rSub { size 8{x} } = { { ital "kM"} over {D rSup { size 8{2} } } } { {ζ - z} over {D} } - { { ital "kM"} over {r rSup { size 8{2} } } } { {ζ} over {r} } = ital "kM" left [ { {ζ - z} over {D rSup { size 8{3} } } } - { {ζ} over {r rSup { size 8{3} } } } right ]} {}

trong đó k−k− size 12{k - {}} {} hằng số hấp dẫn.

Trong tam giác MOPMOP size 12{ ital "MOP"} {} ta có

D = ( r 2 − ρ 2 − 2rρ cos Z ) 1 / 2 = r 1 + ρ 2 r 2 − 2 ρ r cos Z 1 / 2 D = ( r 2 − ρ 2 − 2rρ cos Z ) 1 / 2 = r 1 + ρ 2 r 2 − 2 ρ r cos Z 1 / 2 size 12{D= \( r rSup { size 8{2} } - ρ rSup { size 8{2} } - 2rρ"cos"Z \) rSup { size 8{1/2} } =r`` left [1+ { {ρ rSup { size 8{2} } } over {r rSup { size 8{2} } } } - 2 { {ρ} over {r} } "cos"Z right ] rSup { size 8{`1/2} } } {}

Vì ρrρr size 12{ { {ρ} over {r} } } {} rất nhỏ nên có thể bỏ qua bình phương của nó và

D = r ( 1 − 2 ρ r cos Z ) 1 / 2 D = r ( 1 − 2 ρ r cos Z ) 1 / 2 size 12{D=r \( 1 - 2 { {ρ} over {r} } "cos"Z \) rSup { size 8{1/2} } } {}

do đó

1 D 3 = 1 r 3 1 − 2 ρ r cos Z − 3 2 ≈ 1 r 3 1 − 3 ρ r cos Z 1 D 3 = 1 r 3 1 − 2 ρ r cos Z − 3 2 ≈ 1 r 3 1 − 3 ρ r cos Z size 12{ { {1} over {D rSup { size 8{3} } } } = { {1} over {r rSup { size 8{3} } } } left [1 - 2 { {ρ} over {r} } "cos"Z right ] rSup { size 8{ - { {3} over {2} } } } approx { {1} over {r rSup { size 8{3} } } } left [1 - 3 { {ρ} over {r} } "cos"Z right ]} {}

Thế biểu thức cuối cùng này vào (1.3), biến đổi, bỏ qua những số hạng nhỏ dạng

ρxrρxr size 12{ { {ρx} over {r} } } {}, ρyrρyr size 12{ { {ρy} over {r} } } {}, ρzrρzr size 12{ { {ρz} over {r} } } {}

ta sẽ nhận được

F x = kM r 3 − x + 3 ρε r cos Z F x = kM r 3 − x + 3 ρε r cos Z size 12{F rSub { size 8{x} } = { { ital "kM"} over {r rSup { size 8{3} } } } left [ - x+3 { { ital "ρε"} over {r} } "cos"Z right ]} {}