The Fourier Transform Trong các bài tóan phân tích tín hiệu thực tế, tín hiệu cần phân tích có khỏang thời gian xác định rất dài hoặc vô hạn, khi đó phân tích dùng chuỗi Fourier (Fourier series) trở nên không thích hợp. Trong trường hợp này, biến đổi Fourier (Fourier transform (FT)) và biến đổi ngược của nó (inverse Fourier transform (IFT)) được sử dụng. Biến đổi Fourier được áp dụng thành công trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật ở đó khái niệm tần số và miền tần số được sử dụng. Biến đổi Fourier được mở rộng từ chuỗi Fourier bằng cách đặt khỏang thời gian xác định của chuỗi Fourier vô hạn, hoặc biến đổi Fourier có thể định nghĩa độc lập và chuỗi Fourier là trường hợp đặc biệt của nó. .

Definition of the Fourier Transform Biến đổi Fourier(FT) của hàm thực (hoặc phức) của biến thực t được định nghĩa bởi X ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t ⅆ t cho hàm phức của biến thực ω biểu diễn tần số. Biến đổi Fourier ngược (IFT) được cho bởi (IFT) x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) e j ω t ⅆ ω . Vì các cận vô hạn của hai tích phân nên vấn đề hội tụ trở nên quan trọng, do đó giới hạn khả năng biểu diễn một số lọai tín hiệu. Sử dụng hàm delta (phân bố) trong miền thời gian và tần số cho phép biểu diễn nhiều lọai tín hiệu. .

Examples of the Fourier Transform Xác định các phép biến đổi cơ bản và dùng các tính chất của phép biến đổi Fourier cho phép khảo sát nhiều lọai tín hiệu (ví dụ: điều chế, lấy mẫu) một cách dễ dàng. Nếu x ( t ) = δ ( t ) thì X ( ω ) = 1 Nếu x ( t ) = 1 thì X ( ω ) = 2 π δ ( ω ) Nếu x ( t ) là chuỗi vô hạn của các hàm delta đặt cách nhau khỏang T , x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) , biếb đổi của nó cũng là chuỗi vô hạn các hàm delta có trọng số 2 π / T đặt cách nhau khỏang 2 π / T , X ( ω ) = 2 π ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k / T ) . Các ví dụ khác có thể tham khảo trong . Lưu ý rằng, biến đổi Fourier của hàm liên tục thời gian tạo nên hàm liên tục tần số. Nếu hàm delta được dùng, biến đổi Fourier của hàm tuần hòan sẽ là chuỗi vô hạn của hàm delta với trọng số là hệ số của chuỗi Fourier.