Kí hiệu ma trận:
Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau:
A
∣
a
11
a
12
.
.
.
a
1n
a
21
a
22
.
.
.
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
.
.
.
a
mn
∣
=
a
i
j
A
∣
a
11
a
12
.
.
.
a
1n
a
21
a
22
.
.
.
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
.
.
.
a
mn
∣
=
a
i
j
size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{1n} } {} ##
a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{2n} } {} ##
"." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} # "." "." "." {} ##
a rSub { size 8{m1} } {} # a rSub { size 8{m2} } {} # "." "." "." {} # a rSub { size 8{ ital "mn"} } {}
} rline {}
} = left [a rSub { size 8{i`j} } right ]} {}
Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng.
Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột.
Ví dụ:
A=∣213∣A=∣213∣ size 12{A`=`` lline ` matrix {
2 {} ##
1 {} ##
3
} ` rline } {} và
A=∣231∣A=∣231∣ size 12{A`=` lline matrix {
2 {} # 3 {} # 1{}
} rline } {}
Các dạng ma trận:
Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n).
Ví dụ:
A
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
A
∣
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ##
a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"23"} } {} ##
a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {}
} rline {}
} } {}
Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j.
A
∣
a
11
a
12
a
13
0
a
22
a
23
0
0
a
33
∣
A
∣
a
11
a
12
a
13
0
a
22
a
23
0
0
a
33
∣
size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"13"} } {} ##
0 {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"23"} } {} ##
0 {} # 0 {} # a rSub { size 8{"33"} } {}
} rline {}
} } {}
Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j.
A
∣
a
11
0
0
a
21
a
22
0
a
31
a
32
a
33
∣
A
∣
a
11
0
0
a
21
a
22
0
a
31
a
32
a
33
∣
size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # 0 {} # 0 {} ##
a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # 0 {} ##
a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {} # a rSub { size 8{"33"} } {}
} rline {}
} } {}
Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (aịj = 0 với
i≠ji≠j size 12{i <> j} {}).
A
∣
a
11
0
0
0
a
22
0
0
0
a
33
∣
A
∣
a
11
0
0
0
a
22
0
0
0
a
33
∣
size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # 0 {} # 0 {} ##
0 {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # 0 {} ##
0 {} # 0 {} # a rSub { size 8{"33"} } {}
} rline {}
} } {}
Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 còn tất cả các phần tử khác bằng 0 (aij = 1 với i = j và aịj = 0 với
i≠ji≠j size 12{i <> j} {}).
U
∣
1
0
0
0
1
0
0
0
1
∣
U
∣
1
0
0
0
1
0
0
0
1
∣
size 12{ matrix {
U {} # = lline `` matrix {
1 {} # `0 {} # `0 {} ##
0 {} # `1 {} # `0 {} ##
0 {} # `0 {} # `1{}
} `` rline {}
} } {}
Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0.
Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột và ngược lại).
A∣a11a12a21a22a31a32∣A∣a11a12a21a22a31a32∣ size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"12"} } {} ##
a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} ##
a rSub { size 8{"31"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {}
} rline {}
} } {} và
AT∣a11a21a31a12a22a32∣AT∣a11a21a31a12a22a32∣ size 12{ matrix {
A rSup { size 8{T} } {} # = lline matrix {
a rSub { size 8{"11"} } {} # a rSub { size 8{"21"} } {} # a rSub { size 8{"31"} } {} ##
a rSub { size 8{"12"} } {} # a rSub { size 8{"22"} } {} # a rSub { size 8{"32"} } {}
} rline {}
} } {}
Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là At, AT hoặc A’
Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aịj = aji.
Ví dụ:
A
∣
1
5
3
5
2
6
3
6
4
∣
A
∣
1
5
3
5
2
6
3
6
4
∣
size 12{ matrix {
A {} # = lline `` matrix {
1 {} # `5 {} # `3 {} ##
5 {} # `2 {} # `6 {} ##
3 {} # `6 {} # `4{}
} `` rline {}
} } {}
Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận không thay đổi.
Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = - AT. Các phần tử ngoài đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.
Ví dụ:
A
∣
0
5
−
3
−
5
0
6
3
−
6
0
∣
A
∣
0
5
−
3
−
5
0
6
3
−
6
0
∣
size 12{ matrix {
A {} # = lline matrix {
0 {} # 5 {} # - 3 {} ##
- 5 {} # 0 {} # 6 {} ##
3 {} # - 6 {} # 0{}
} rline {}
} } {}
Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT .A = U = A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực).
Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp.
Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A*
A=∣j354+j21+j1∣A=∣j354+j21+j1∣ size 12{A= lline matrix {
j3 {} # 5 {} ##
4+j2 {} # 1+j1{}
} rline } {} và
A∣−j354−j21−j1∣A∣−j354−j21−j1∣ size 12{ matrix {
A rSup { size 8{ * } } {} # = lline matrix {
- j3 {} # 5 {} ##
4 - j2 {} # 1 - j1{}
} rline {}
} } {}
-Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A*
-Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*.
Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*)t.
